Đề bài

Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 15; 16; 20} vào 15 ô vuông trong hình dưới đây thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

– Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần;

– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trong cùng một hàng không chia hết cho 5;

– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trong cùng một cột không chia hết cho 5.

Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi H là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của $\dfrac{H}{30}$ bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết của một hiệu và phương pháp tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Tập hợp X gồm 15 số được chia thành 5 nhóm dựa vào số dư khi chia cho 5:

Nhóm dư 1: $A_{1} = \left\{ 1;6;11;16;21 \right\}$: có 5 số.

Nhóm dư 2: $A_{2} = \left\{ 2;7;12;17 \right\}$: có 4 số.

Nhóm dư 3: $A_{3} = \left\{ 3;8;13 \right\}$: có 3 số.

Nhóm dư 4: $A_{4} = \left\{ 4;9 \right\}$: có 2 số.

Nhóm dư 0: $A_{0} = \left\{ 5 \right\}$: có 1 số.

Điều kiện bài toán nghĩa là: Trên cùng một hàng hoặc một cột, không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 5. Cách điền số thỏa mãn điều kiện trên là:

- Hàng 5 cột 1, hàng 4 cột 2, hàng 3 cột 3, hàng 2 cột 4, hàng 1 cột 5: Điền các số chia 5 dư 1: 5! cách điền.

- Hàng 4 cột 1, hàng 3 cột 2, hàng 2 cột 3, hàng 1 cột 4: Điền các số chia 5 dư 2: 4! cách điền.

- Hàng 3 cột 1, hàng 2 cột 2, hàng 1 cột 1: Điền các số chia 5 dư 3: 3! cách điền.

- Hàng 2 cột 1, hàng 1 cột 2: Điền các số chia 5 dư 4: 2! cách điền.

- Hàng 1 cột 1: Điền các số chia hết cho 5: 1 cách điền.

Theo quy tắc nhân, tổng số cách điền thỏa mãn thử thách là:

H = 5! . 4! . 3! . 2! . 1! = 34560. Vậy $\dfrac{H}{30} = 1152$.