Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ O. Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm O có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng (Oxy). Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí M(5; 10; 4) đến vị trí N(14; -2; 4). Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.
Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
a) Đúng. $\overset{\rightarrow}{MN} = (14 - 5; - 2 - 10;4 - 4) = (9; - 12;0)$.
b) Sai. Đường thẳng MN đi qua M(5; 10; 4), nhận $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{MN} = (3; - 4;0)$ làm VTCP nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 3t} \\ {y = 10 - 4t} \\ {z = 4} \end{array} \right.$ với $t \in {\mathbb{R}}$.
c) Đúng. Gọi $P(5 + 3t;10 - 4t;4)$ là vị trí của máy bay tại thời điểm t ($t \in \lbrack 0;3\rbrack$). Q là một điểm bất kì trên vành đai. Hình chiếu của $P$ lên $(Oxy)$ là $P'(5 + 3t;10 - 4t;0)$.
Tam giác PP’Q vuông tại P’, PP’ = 3 và PQ ngắn nhất khi P’Q ngắn nhất, hay OP’ ngắn nhất.
$O{P'}^{2} = {(5 + 3t)}^{2} + {(10 - 4t)}^{2} = 25{(t - 1)}^{2} + 100$.
Vì $t \in \lbrack 0;3\rbrack$ nên $\left. 25{(t - 1)}^{2} \geq 0\Rightarrow O{P'}^{2} \geq 100\Rightarrow OP' \geq 10 \right.$.
Giá trị nhỏ nhất của OP' là 10 đạt được khi t = 1.
Khi đó, khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai trên hệ tọa độ là:
$PQ_{\min} = \sqrt{9 + {(10 - 6)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ (đơn vị), hay 50 mét.
d) Đúng. Từ câu c), khoảng cách ngắn nhất đạt được khi tham số t = 1.
Thay t = 1 vào phương trình đường thẳng MN, ta được tọa độ của máy bay:
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 3.1 = 8} \\ {y = 10 - 4.1 = 6} \\ {z = 4} \end{array} \right.\Rightarrow P(8;6;4) \right.$.
Danh sách bình luận