Biết $x_{1},x_{2}$ ($x_{1} < x_{2}$) là hai nghiệm của phương trình $\log_{2}\left( \dfrac{4x^{2} - 4x + 1}{x} \right) = 6x - 4x^{2}$ và $x_{1} + 2x_{2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt{b}} \right)$ với a, b là các số nguyên dương. Giá trị $P = a + b$ là
B1: Tìm điều kiện xác định.
B2: Biến đổi đưa về dạng hàm số đặc trưng:
$f(u) = f(v)$ với $f(t) = \log_{2}t + t$.
B3: Khảo sát hàm đặc trưng để suy ra quan hệ nghiệm.
B4: Giải phương trình hệ quả và tính toán theo yêu cầu.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x > 0} \\ {x \neq \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$.
$\log_{2}\left( \dfrac{{(2x - 1)}^{2}}{x} \right) + (4x^{2} - 4x + 1) = 2x + 1$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}{(2x - 1)}^{2} + {(2x - 1)}^{2} - \log_{2}x = 2x + 1 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}{(2x - 1)}^{2} + {(2x - 1)}^{2} = \log_{2}2x + 2x \right.$.
Xét hàm số $f(t) = \log_{2}t + t$ trên khoảng $(0; + \infty)$ ta có:
$f'(t) = \dfrac{1}{t\ln 2} + 1 > 0,\forall t > 0$.
$\left. \Rightarrow f(t) \right.$ đồng biến trên khoảng xác định.
Mà $\left. f\left\lbrack {(2x - 1)}^{2} \right\rbrack = f(2x)\Leftrightarrow{(2x - 1)}^{2} = 2x \right.$
$\left. \Leftrightarrow 4x^{2} - 6x + 1 = 0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{4}} \\ {x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{4}} \end{array} \right. \right.$.
Do $\left. x_{1} < x_{2}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{4}} \\ {x_{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{4}} \end{array} \right. \right.$
$\left. \Rightarrow x_{1} + 2x_{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{4} + 2 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {9 + \sqrt{5}} \right) \right.$.
$\left. \Rightarrow a = 9,b = 5\Rightarrow P = a + b = 14 \right.$.
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ứng dụng đạo hàm
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(K\).
Nếu \(f’(x)\) dương thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(K\).
Nếu \(f’(x)\) âm thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên \(K\).
Danh sách bình luận