Đề bài

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng $30^o$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

• A. $\pi a^3$.
• B. $2\pi a^3$.
• C. $4\pi a^3$.
• D. $3\pi a^3$.

Phương pháp giải

Xác định trục của khối lăng trụ dựa vào tính chất trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông. Sử dụng quy tắc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, định lí Pythagore để xác định bán kính đáy khối trụ. Từ đó tính thể tích khối trụ đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

Vì tam giác ABC và A’B’C’ vuông cân lần lượt tại A và A’, do đó II’ là trục của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ trên, với R = IA = BC = IC = I’A’ = I’B’ = I’C’ là bán kính đáy khối trụ.

Dễ dàng chứng minh \(AI \bot (BCC'B') \Rightarrow AI \bot IC'\) và IC’ là hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’).

Do đó \(\left( {AC',(BCC'B')} \right) = \widehat {AC'I} = {30^o}\).

Xét tam giác AIC’ vuông tại I:

\(\tan \widehat {AC'I} = \frac{{AI}}{{IC'}}\)

\( \Rightarrow IC' = \frac{{AI}}{{\tan \widehat {AC'I}}} = \frac{R}{{\tan {{30}^o}}} = R\sqrt 3 \).

Xét tam giác ICC’ vuông tại C:

\(IC' = \sqrt {I{C^2} + C'{C^2}} \)

\( = \sqrt {{R^2} + {{(2a)}^2}}  = \sqrt {{R^2} + 4{a^2}} \).

Suy ra \(R\sqrt 3  = \sqrt {{R^2} + 4{a^2}}  \Rightarrow R = a\sqrt 2 \).

Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

\(V = \pi {R^2}.AA' = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}\).

Đáp án : C

Mở rộng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có định nghĩa:

- Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng \({90^o}\).

- Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của đường thẳng d trên (P).

Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ \({0^o}\) đến \({90^o}\).