Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là

 

• A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
• B.  \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
• C.  \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
• D.  \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\)

Phương pháp giải

- Gọi E là trung điểm của AB, chứng minh \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CE,DE} \right) = \widehat {CED}\).

- Sử dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tìm x.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi H là trung điểm của CD.

Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot AB\).

Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại C \( \Rightarrow CE \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\AB \bot CE\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CDE} \right) \Rightarrow AB \bot DE\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\\\left( {ABC} \right) \supset CE \bot AB\\\left( {ABD} \right) \supset DE \bot AB\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) =  \left( {CE,DE} \right) = \widehat{CED}\).

Để \(\widehat{CED} = {90^o}\) thì:

\(\Delta ABC = \Delta ABD\) (c.c.c) nên dễ dàng chứng minh CE = DE, hay \(\Delta CDE\) vuông cân tại E.

\( \Rightarrow CD = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow 2x = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow CE = x\sqrt 2 \) (*)

Xét tam giác vuông CBH:

\(B{H^2} = B{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\).

Xét tam giác vuông ACH:

\(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\).

Xét tam giác vuông ABH có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} - 2{x^2}\)

\(\Rightarrow AE = \dfrac{{\sqrt {2{a^2} - 2{x^2}} }}{2}\).

Xét tam giác vuông ACE có:

\(C{E^2} = A{C^2} - A{E^2} \)

\(= {a^2} - \dfrac{{{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{2}\)

\(\Rightarrow CE = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 }}\).

Thay vào (*) ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \)

\(\Leftrightarrow {a^2} + {x^2} = 4{x^2} \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án : B

Mở rộng

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):

\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).