Đề bài

Có 3 chiếc hộp, mỗi hộp đựng 2 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác xuất để trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 1 viên bi xanh.

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tính xác suất của biến cố đối và phương pháp tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Số cách lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi:

$n(\Omega) = (C_{10}^{1})^3 = 1000$.

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được ít nhất 1 bi xanh".

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: "Không lấy được viên bi xanh nào".

$\Rightarrow n(\overline{A}) = (C_{8}^{1})^3 = 512$.

Xác suất không lấy được viên bi xanh nào:

$P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)} = \frac{512}{1000} = \frac{64}{125}$.

Xác suất lấy được ít nhất 1 viên bi xanh:

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$.

Mở rộng

Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành.

Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m.n.p cách hoàn thành.

 

Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử $(n \ge 1)$.

Mỗi tập con gồm k phần tử $(1 \le k \le n)$ của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử với \(1 \le k \le n\).

Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) với \(0 \le k \le n\).

Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\).

Nhận xét:

+) \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

 

Biến cố đối

Cho A là một biến cố. Khi đó, biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là \(\overline A \), được gọi là biến cố đối của A.

+ \(\overline A= \Omega \backslash A\).

+ \(P(\overline A ) + P(A) = 1\).

Trong một số bài toán, nếu tính trực tiếp xác suất của biến cố gặp khó khăn, ta có thể tính gián tiếp bằng cách tính xác suất của biến cố đối của nó.

Áp dụng công thức \(P(\overline A ) = 1 – P(A)\).