Đề bài

Hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt (SAB) và (ABC). Tính $\cos \alpha$.

• A. $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
• B. $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
• C. $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
• D. $\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Phương pháp giải

- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến đó.

-  Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi D là trung điểm cạnh AB. Vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên \(SD \bot AB\) và \(CD \bot AB\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot SA}\\{SC \bot SB}\end{array}} \right. \Rightarrow SC \bot (SAB) \Rightarrow SC \bot AB\).

Mà \(SD \bot AB\) nên \(AB \bot (SAD)\).

\( \Rightarrow \left( {(SAB),(ABC)} \right) = \widehat {SDC} = \alpha \)

Khi đó tam giác SAB vuông tại S có:

\(SD = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(CD = \sqrt {S{C^2} + S{D^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \(\cos \alpha  = \frac{{SD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án : B

Mở rộng

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):

\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).