Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có ABC, SAB là các tam giác đều và mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi $\alpha$ là số đo của góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Tính $\cos^{2}\alpha$.

Phương pháp giải

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi H là trung điểm cạnh AB.

Do $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB$.

Mặt khác $(SAB)\bot(ABC)$ và $(SAB) \cap (ABC) = AB$.

Từ đó suy ra $SH\bot(ABC)$.

Gọi I là trung điểm BC và E là trung điểm BI.

Do $\Delta ABC$ đều nên $HE\bot BC$. Suy ra $\left. BC\bot(SHE)\Rightarrow \right.$ Góc phẳng nhị diện [S, BC, A] chính là góc $\widehat{SEH}$ hay $\alpha = \widehat{SEH}$.

Do ABC, SAB là các tam giác đều có chung cạnh AB nên $HE = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{1}{2}SH$.

Trong $\Delta SHE$ có $\widehat{SHE} = 90^{o}$.

Suy ra $\left. \tan\widehat{SEH} = \dfrac{SH}{HE} = 2\Leftrightarrow\tan\alpha = 2 \right.$.

$\left. \Rightarrow\cos^{2}\alpha = \dfrac{1}{\tan^{2}\alpha + 1} = \dfrac{1}{5} = 0,2 \right.$.