Từ tập hợp số tự nhiên {1; 2; ...; 49; 50}, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi T là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô A, B, C, D, E, F theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\dfrac{T}{10^{8}}$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Áp dụng phương pháp tổ hợp.
Gọi 21 số được chọn theo thứ tự tăng là $x_{1} < x_{2} < .... < x_{21}$ trong đó $x_{i} \in \left\{ 1;2;3;....;50 \right\}$.
Vì mọi số ở hàng trên đều nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới và trong mỗi hàng số bên trái đều nhỏ hơn số bên phải nên ta chọn như sau:
+ Ô A chọn $x_{1}$.
+ Hàng 2 có 2 ô nên ô B chọn $x_{3}$.
+ Hàng 3 có 3 ô nên ô C chọn $x_{6}$.
+ Hàng 4 có 4 ô nên ô D chọn $x_{10}$.
+ Hàng 5 có 5 ô nên ô D chọn $x_{15}$.
+ Hàng 6 có 6 ô nên ô D chọn $x_{21}$.
Do các số ở ô A, B, C, D, E, F theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
$x_{3} - x_{1} = x_{6} - x_{3} = x_{10} - x_{6} = x_{15} - x_{10} = x_{21} - x_{15} = d > 0$.
Khi đó ta có: $\left. x_{21} = x_{1} + 5d \leq 50\Rightarrow x_{1} \leq 50 - 5d \right.$.
Với mỗi $d$ cố định, ta chọn các số còn lại như sau:
+ Chọn $x_{2}$ trong $(x_{1};x_{1} + d)$, có $C_{d - 1}^{1}$ cách.
+ Chọn $x_{4},x_{5}$ trong $(x_{1} + d;x_{1} + 2d)$, có $C_{d - 1}^{2}$ cách.
+ Chọn $x_{7},x_{8},x_{9}$ trong $(x_{1} + 2d;x_{1} + 3d)$, có $C_{d - 1}^{3}$ cách.
+ Chọn $x_{11},x_{12},x_{13},x_{14}$ trong $(x_{1} + 3d;x_{1} + 4d)$, có $C_{d - 1}^{4}$ cách.
+ Chọn $x_{16},x_{17},x_{18},x_{19},x_{20}$ trong $(x_{1} + 4d;x_{1} + 5d)$, có $C_{d - 1}^{5}$ cách.
Với $\left. \left\{ \begin{array}{l} {d - 1 \geq 5} \\ {50 - 5d \geq 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {d \geq 6} \\ {d \leq 9} \end{array} \right. \right.$.
Vậy số cách chọn là:
$T = {\sum\limits_{d = 6}^{9}{(50 - 5d)}}C_{d - 1}^{1}C_{d - 1}^{2}C_{d - 1}^{3}C_{d - 1}^{4}C_{d - 1}^{5} = 285106650$.
Vậy $\dfrac{T}{10^{8}} \approx 2,85$.
Danh sách bình luận