Đề bài

Một loại gạch men có kích thước hình vuông 60x60 cm. Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn $(C_{1})$ nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn $(C_{1})$ mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn $(C_{1})$, bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp $(C_{2})$; và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn $(C_{2})$ mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ tiếp tục 100 lần (tham khảo hình vẽ).

Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm vuông? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm vuông.

Phương pháp giải

Ứng dụng tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đặt $A_{1}B_{1} = a$, ta có:

* Diện tích hình vuông $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ là $S_{V_{1}} = a^{2}$.

Bán kính hình tròn $(C_{1})$ là $\left. R_{1} = \dfrac{A_{1}B_{1}}{2} = \dfrac{a}{2}\Rightarrow \right.$ Diện tích hình tròn $(C_{1})$ là $S_{Tr_{1}} = \pi.\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{4}$.

* Hình vuông $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ có đường chéo $\left. A_{2}C_{2} = 2R_{1} = a\Rightarrow \right.$ Cạnh $A_{2}B_{2} = \dfrac{A_{2}C_{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$.

$\Rightarrow$ Diện tích hình vuông $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ là $S_{V_{2}} = \left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{2}$.

Bán kính hình tròn $(C_{2})$ là $R_{2} = \dfrac{A_{2}B_{2}}{2} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}}$.

$\Rightarrow$ Diện tích hình tròn $(C_{2})$ là $S_{Tr_{2}} = \pi.\left( \dfrac{a}{2\sqrt{2}} \right)^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{8}$.

* Hình vuông $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$ có đường chéo $\left. A_{3}C_{3} = 2R_{2} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow \right.$ Cạnh $A_{3}B_{3} = \dfrac{a}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \dfrac{a}{2}$.

$\Rightarrow$ Diện tích hình vuông $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$ là $S_{V_{3}} = \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{4}$.

Bán kính hình tròn $(C_{3})$ là $R_{3} = \dfrac{1}{2}A_{3}B_{3} = \dfrac{a}{4}$.

$\Rightarrow$ Diện tích hình tròn $(C_{3})$ là $S_{Tr_{3}} = \pi.\left( \dfrac{a}{4} \right)^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{16}$.

* Tiếp tục theo quy luật trên, ta có:

Diện tích các hình vuông $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1},A_{2}B_{2}C_{2}D_{2},A_{3}B_{3}C_{3}D_{3},...$ lần lượt là $a^{2},\dfrac{a^{2}}{2},\dfrac{a^{2}}{4},...$ lập thành cấp số nhân lùi với số hạng đầu $S_{V_{1}} = a^{2}$, công bội $q_{1} = \dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow$ Tổng diện tích các hình tròn tương ứng là:

$S_{100} = \dfrac{\pi a^{2}}{4} + \dfrac{\pi a^{2}}{8} + \dfrac{\pi a^{2}}{16} + ... \approx \dfrac{\dfrac{\pi a^{2}}{4}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi a^{2}}{2}$.

$\Rightarrow$ Tổng diện tích phần tô màu đậm là:

$S = S_{V} - S_{Tr} \approx 2a^{2} - \dfrac{\pi a^{2}}{2} = \dfrac{a^{2}(4 - \pi)}{2}$ $\text{(cm}^{2}\text{)}$.

Với a = 60 (cm), ta có tổng diện tích phần tô màu đậm là:

$S \approx \dfrac{60^{2}.(4 - \pi)}{2} \approx 1545$ $\text{(cm}^{2}\text{)}$.