Đề bài

Hình vẽ dưới đây cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4. Miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới biên hình vuông.

Phương pháp giải

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = {\int\limits_{a}^{b}{\left| {f(x)} \right|dx}}$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức $S = {\int\limits_{a}^{b}{\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi hình vuông có cạnh bằng 4 là ABCD và gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Do vai trò của các đường cong như nhau, giả sử M(x; y) là một điểm thuộc đường cong (C) của miền D như hình vẽ.

Ta có khoảng cách từ M tới O là $MO = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Khoảng cách từ M tới cạnh AB của hình vuông là d(M, AB) = |y – 2|.

Khoảng cách từ M tới O bằng khoảng cách từ M tới AB nên:

$\left. \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \left| {y - 2} \right|\Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1 \right.$.

Hoành độ giao điểm của Parabol $y = - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1$ và đường thẳng OB (y = x) (thuộc góc phần tư thứ nhất) là

$\left. - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1 = x\Leftrightarrow x^{2} + 4x - 4 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 2 - 2\sqrt{2}} \\ {x = - 2 + 2\sqrt{2}} \end{array} \right. \right.$.

Parabol $y = - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1$ cắt đường thẳng OB (y = x) tại điểm E thuộc góc phần tư thứ nhất nên $\left. x_{E} = - 2 + 2\sqrt{2}\Rightarrow y_{E} = - 2 + 2\sqrt{2} \right.$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol, trục Ox, trục Oy và đường thẳng $x = - 2 + 2\sqrt{2}$ là:

$S_{1} = {\int\limits_{0}^{- 2 + 2\sqrt{2}}{\left( {- \dfrac{1}{4}x^{2} + 1} \right)dx}} = \dfrac{8 - 4\sqrt{2}}{3}$.

Diện tích tam giác OEH là:

$S_{2} = \dfrac{1}{2}OH.EH = \dfrac{1}{2}y_{E}.x_{E} = \dfrac{1}{2}{( - 2 + 2\sqrt{2})}^{2}$.

Diện tích của $\dfrac{1}{8}$ miền D là:

$S_{3} = S_{1} - S_{2} = \dfrac{8 - 4\sqrt{2}}{3} - \dfrac{1}{2}{( - 2 + 2\sqrt{2})}^{2} = \dfrac{- 10 + 8\sqrt{2}}{3}$.

Diện tích miền D là: $S = 8.S_{3} = 8.\dfrac{- 10 + 8\sqrt{2}}{3} \approx 3,5$.