Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):x - \sqrt{3}y + 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng (Oxy). Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. $\alpha = 30^{o}$.
• B. $\alpha = 60^{o}$.
• C. $\alpha = 90^{o}$.
• D. $\alpha = 45^{o}$.

Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ tương ứng có các vecto pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n}\ = (A;B;C)$, $\overset{\rightarrow}{n^{\prime}}\ = (A';B';C')$. Khi đó, góc giữa $(\alpha)$ và $(\beta)$, kí hiệu là $\left( {(\alpha),(\beta)} \right)$ được tính theo công thức:

$\cos((\alpha),(\beta)) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n}.\overset{\rightarrow}{n^{\prime}}} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}.\overset{\rightarrow}{n^{\prime}}} \right|} = \dfrac{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}.\sqrt{A'^{2} + B'^{2} + C'^{2}}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{p} = (1; - \sqrt{3};2)$.

Mặt phẳng (Oxy): z = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = (0;0;1)$.

Ta có $\left. \cos\alpha = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{p}.\overset{\rightarrow}{n} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{p} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{n} \right|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\alpha = 45^{o} \right.$.

Đáp án : D