Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi $\alpha$ là góc giữa (ACD') và (ABCD). Giá trị của $\tan \alpha$ bằng

• A. $\sqrt{2}$.
• B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
• C. $1$.
• D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng rồi áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Khi đó \(DO \bot AC\) và \(D'O \bot AC\) (do tam giác DAC cân tại D và tam giác D’AC cân tại D’).

\(\left. \begin{array}{l}(D'AC) \cap (ABCD) = AC\\DO \bot AC,DO \subset (ABCD)\\D'O \bot AC,D'O \subset (D'AC)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \left( {(D'AC),(ABCD)} \right) = \widehat {D'OD}\).

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(\tan \widehat {D'OD} = \frac{{DD'}}{{OD}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \).

Đáp án : A

Mở rộng

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):

\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).