Đề bài

Dãy số nào là cấp số nhân lùi vô hạn trong các dãy số sau đây?

• A. $u_{n} = \dfrac{1}{n}$ $\left( {n \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
• B. $\left\{ \begin{array}{l} {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_{n}} \\ {u_{1} = 100} \end{array} \right.$ $\left( {n \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
• C. $u_{n} = \dfrac{1}{2}n$ $\left( {n \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
• D. $u_{n} = 2n$ $\left( {n \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$.

Phương pháp giải

Nếu $q = \dfrac{n_{n + 1}}{u_{n}}$ là một hằng số và $|q| < 1$ thì dãy là cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét đáp án A: $\dfrac{n_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{\dfrac{1}{n + 1}}{\dfrac{1}{n}} = \dfrac{n}{n + 1}$ không phải là hằng số.

Xét đáp án B: $\dfrac{n_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{1}{2}$ là hằng số.

Xét đáp án C: $\dfrac{n_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(n + 1)}{\dfrac{1}{2}n} = \dfrac{n + 1}{n}$ không phải là hằng số.

Xét đáp án D: $\dfrac{n_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{2(n + 1)}{2n} = \dfrac{n + 1}{n}$ không phải là hằng số.

Vậy chỉ có dãy $\left\{ \begin{array}{l} {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_{n}} \\ {u_{1} = 100} \end{array} \right.$ $\left( {n \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$ là cấp số nhân, đồng thời là cấp số nhân lùi vô hạn vì $- 1 < \dfrac{1}{2} < 1$.

Đáp án : B

Mở rộng

Cách chứng minh dãy số là cấp số nhân

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, ta chứng minh tỉ số \(\frac{{{u_{n+1}}}}{{{u_n}}}\) không đổi.