Cho đồ thị hàm số $y = e^{x}$ và hình được tô màu như dưới:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng và công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
a) Sai. Hình phẳng đó được giới hạn bởi bốn đường: $y = e^{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1.
b) Sai. Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức $S = {\int\limits_{- 1}^{1}{\left| e^{x} \right|dx}} = {\int\limits_{- 1}^{1}{e^{x}dx}}$.
c) Đúng. $S = {\int\limits_{- 1}^{1}{e^{x}dx}} = e^{x}\left| {\begin{matrix} {}^{1} \\ {}_{- 1} \end{matrix} = e - \dfrac{1}{e}} \right.$.
d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox:
$S = \pi{\int\limits_{- 1}^{1}{\left( e^{x} \right)^{2}dx}} = \dfrac{\pi}{2}e^{2x}\left| \begin{matrix} {}^{1} \\ {}_{- 1} \end{matrix} \right. = \dfrac{1}{2}\pi\left( {e^{2} - \dfrac{1}{e^{2}}} \right)$.
Cách tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Cách tính thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân
a) Khối tròn xoay quanh trục Ox
Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
b) Khối tròn xoay quanh trục Oy
Cho hàm số f(y), g(y) liên tục với mọi \(y \in [c;d]\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là
\(V = \pi \int\limits_c^d {{f^2}(y)dy} \).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dy} \).
Danh sách bình luận