Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ $\overset{\rightarrow}{MN} = k\left( {\overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right)$.

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Vì M là trung điểm của AB nên $\overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} = \overset{\rightarrow}{0}$; N là trung điểm của CD nên $\overset{\rightarrow}{DN} + \overset{\rightarrow}{CN} = \overset{\rightarrow}{0}$.

$\left. \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{DN}} \\ {\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CN}} \end{array} \right\}$

$\left. \Rightarrow 2\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{DN} + \overset{\rightarrow}{CN} \right.$

$= \left( {\overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB}} \right) + \left( {\overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right) + \left( {\overset{\rightarrow}{DN} + \overset{\rightarrow}{CN}} \right)$

$= \overset{\rightarrow}{0} + \left( {\overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right) + \overset{\rightarrow}{0}$

$= \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC}$.

Vậy $\overset{\rightarrow}{MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right)$

$\Rightarrow k = \dfrac{1}{2} = 0,5$.

Mở rộng

Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M bất kì, ta có:

+ \(\overrightarrow {IA}+ \overrightarrow {IB}= \overrightarrow 0 \).

+ \(\overrightarrow {MA}+ \overrightarrow {MB}= 2\overrightarrow {MI} \).