Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm chặn giấy bằng hợp kim cao cấp. Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng 8 cm, độ dài trục nhỏ bằng $\dfrac{8}{\sqrt{3}}$ cm; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng. Đường tròn (O) đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí (như hình vẽ). Phần lõi bên trong đường tròn được dát đồng để khắc tên và lời chúc sinh nhật với chi phí 5000 đồng/cm². Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí 15000 đồng/cm². Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O trùng với giao điểm của hai trục lớn của hai elip. Khi đó, phương trình elip ($E_{1}$) có trục lớn nằm trên trục Ox là: $\left. \dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{3y^{2}}{16} = 1\Rightarrow y^{2} = \dfrac{16 - x^{2}}{3} \right.$
$\left. \Rightarrow y = \sqrt{\dfrac{16 - x^{2}}{3}} \right.$ (với $y \geq 0$).
- Do tính đối xứng, giao điểm của hai elip ($E_{1}$) và ($E_{2}$) nằm trên đường phân giác y = x. Thay y = x vào phương trình ($E_{1}$): $\left. \dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{3x^{2}}{16} = 1\Leftrightarrow x^{2} = 4 \right.$. Suy ra hoành độ các giao điểm của 2 elip là $x_{1,2} = \pm 2$.
- Bán kính đường tròn (O) là:
$R^{2} = x^{2} + y^{2} = 2x^{2} = 8$.
Phương trình đường tròn:
$\left. x^{2} + y^{2} = 8\Rightarrow y = \sqrt{8 - x^{2}} \right.$ (với $y \geq 0$).
- Diện tích phần lõi hình tròn ($S_{1}$):
${S_1} = \pi {R^2} = 8\pi {\mkern 1mu} $ $(\text{cm}^{2})$.
- Diện tích phần cánh hoa ($S_{2}$):
Do tính đối xứng nên diện tích 4 cánh hoa bằng 8 lần diện tích một nửa cánh hoa.
$S_{2} = 8.\left( {{\int_{2}^{4}\sqrt{\dfrac{16 - x^{2}}{3}}}dx - {\int_{2}^{2\sqrt{2}}\sqrt{8 - x^{2}}}dx} \right) \approx 13,5616$ ${\mkern 1mu} ({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})$.
Tổng chi phí nguyên vật liệu:
$T = 5000.S_{1} + 15000.S_{2}$
$= 5000.8\pi + 15000.13,5616$
$= 40000\pi + 203424 \approx 329088$ (đồng) = 329 (nghìn đồng).
Danh sách bình luận