Đề bài

Một khối đá có dạng hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' với cạnh đáy bằng 2 dm, khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (AB'C') bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dm. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối đá hình lăng trụ đã cho theo đơn vị dm.

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Trong (A'B'C'), kẻ $A'H\bot B'C'$ tại $H$ và trong (AA'H), kẻ $A'K\bot AH$ tại K (1)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {B'C'\bot A'H} \\ {B'C'\bot AA'\text{~(do~}AA'\bot(A'B'C')\text{)}} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow B'C'\bot(AA'H)\Rightarrow A'K\bot B'C' \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A'K\bot(AB'C')$ hay $d(A',(AB'C')) = A'K = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (dm).

Xét tam giác A'B'C' đều có đường cao $A'H = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ (dm).

Tam giác AA'H vuông tại A' có đường cao A'K nên:

$\left. \dfrac{1}{A'K^{2}} = \dfrac{1}{A'H^{2}} + \dfrac{1}{A'A^{2}}\Rightarrow A'A = 1 \right.$ (dm).

Hai mặt đáy song song với nhau và có khoảng cách là:

$d((ABC),(A'B'C')) = A'A = 1$ (dm).