Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = C_{n + 3}^{4}$ ($n = 1,2,\ldots,80$). Người ta chọn ngẫu nhiên lần lượt hai bộ A và B, mỗi bộ gồm ba số hạng liên tiếp của dãy số trên sao cho hai bộ không có chỉ số chung. Bộ A được điền vào cột 1 và bộ B được điền vào cột 2 của một bảng ô vuông kích thước 3x2 sao cho các số hạng trong mỗi cột có chỉ số tăng dần từ trên xuống dưới. Biết xác suất để tổng các số hạng ở mỗi cột đều là số lẻ bằng $\dfrac{a}{b}$ ($\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản), hãy tính a + b.
Sử dụng phương pháp tổ hợp.
Với mỗi số hạng $C_{n}^{4}$ của dãy đã cho, ta xét n thuộc một trong hai nhóm số sau:
- Nhóm 1: 8p + 4; 8p + 5; 8p + 6; 8p + 7 $(p \geq 0)$.
- Nhóm 2: 8q; 8q + 1; 8q + 2; 8q + 3$(q \geq 1)$.
Xét $n$ thuộc nhóm 1, chẳng hạn n = 8p + 4 (xét tương tự cho các số còn lại trong nhóm 1).
$C_{n}^{4} = C_{8p + 4}^{4} = \dfrac{(8p + 4)(8p + 3)(8p + 2)(8p + 1)}{1.2.3.4}$
$= \dfrac{(2p + 1)(8p + 3)(4p + 1)(8p + 1)}{3}$.
Đây là số lẻ (vì tử là tích của 4 số lẻ, mẫu là số lẻ).
Xét n thuộc nhóm 2, chẳng hạn n = 8q + 1 (xét tương tự cho các số còn lại trong nhóm 2).
$C_{n}^{4} = C_{8q + 1}^{4} = \dfrac{(8q + 1)8q(8q - 1)(8q - 2)}{1.2.3.4}.$
Do $\left\{ \begin{array}{l} {8q(8q - 1)(8q - 2) \vdots 3} \\ {8q(8q - 1)(8q - 2) = 16q(8q - 1)(4q - 1) \vdots 16} \end{array} \right.$ nên $\left. 8q(8q - 1)(8q - 2) \vdots 48\Rightarrow C_{n}^{4} \right.$ là số chẵn.
Từ những điều trên ta thấy 80 số này được chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số lẻ đứng đầu và tiếp theo là 4 số chẵn, cứ liên tiếp như thế.
Số bộ ba số hạng liên tiếp trong dãy là 78.
Số cách chọn lần lượt 2 bộ ba "rời nhau" là số chọn lần lượt hai vị trí i, j từ tập $\left\{ 1,2,\ldots,78 \right\}$ sao cho $\left| i - j \middle| \geq 3\Rightarrow n(\Omega) = A_{76}^{2} = 5700 \right.$.
Gọi X là biến cố "tổng các số hạng trên mỗi cột của bảng $3 x 2$ đều lẻ".
Gọi $S_{k} = u_{k} + u_{k + 1} + u_{k + 2}$ là tổng của ba số liên tiếp của dãy. Trong một chu kỳ 8 chỉ số, $S_{k}$ lẻ khi k ở vị trí 1, 2, 4, 7.
Số bộ ba số liên tiếp của dãy có tổng lẻ là số vị trí k để có $S_{k}$ lẻ, do đó có 3.10 + 9 = 39 bộ.
Tiếp theo, ta tìm số cách chọn lần lượt hai vị trí i, j trong tập 39 vị trí trên sao cho $\left| i - j \middle| \geq 3 \right.$.
Tổng số cách chọn lần lượt hai vị trí i, j trong tập 39 vị trí là $A_{39}^{2} = 1482$.
Trong đó, số cặp vi phạm (|i - j| < 3):
- Hiệu bằng 1: 9 cặp nội bộ chu kỳ + 1 cặp chu kỳ cuối (73, 74) = 10 cặp.
- Hiệu bằng 2 nội bộ: 9 cặp nội bộ chu kỳ + 1 cặp chu kỳ cuối (74, 76) = 10 cặp.
- Hiệu bằng 2 giao thoa: Có 9 mối nối giữa các chu kỳ nên có 9 cặp.
- Tổng số cặp vi phạm: 10 + 10 + 9 = 29.
Do đó $n(X) = A_{39}^{2} - 29.2 = 1424$.
Vậy $P(X) = \dfrac{1424}{5700} = \dfrac{356}{1425} = \dfrac{a}{b}$.
Suy ra a + b = 1781.
Danh sách bình luận