Đề bài

Một nghệ nhân làm gốm thủ công tại địa phương đang sản xuất một dòng bình hoa gốm đặc biệt. Mỗi ngày, nghệ nhân này có thể sản xuất x chiếc bình hoa $(1 \leq x \leq 18,x \in {\mathbb{N}})$. Tổng chi phí sản xuất x bình hoa trong một ngày (bao gồm nguyên liệu, công thợ và lò nung), tính bằng đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm chi phí: $C(x) = x^{3} - 3x^{2} + 40x + 500$. Giả sử toàn bộ số bình hoa sản xuất ra trong ngày đều được các cửa hàng lưu niệm thu mua hết với giá cố định là 280 nghìn đồng/bình. Để đạt được lợi nhuận cao nhất, nghệ nhân này nên sản xuất bao nhiêu bình hoa mỗi ngày?

Phương pháp giải

Lập hàm lợi nhuận theo biến x, ứng dụng đạo hàm tìm x để hàm số đạt GTLN trên [1; 18].

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Khi bán x bình hoa:

- Số tiền thu được là: B(x) = 280x (nghìn đồng).

- Lợi nhuận thu được là: $L(x) = B(x) - C(x)$

$= - x^{3} + 3x^{2} + 240x - 500$ (nghìn đồng).

- Xét hàm số L(x) trên [1; 18] (với x là số nguyên), ta có:

$L'(x) = - 3x^{2} + 6x + 240$;

$\left. L'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 10\quad(n)} \\ {x = - 8\quad(l)} \end{array} \right. \right.$.

L(1) = -258, L(10) = 1200 và L(18) = -1040.

Suy ra x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200. Như vậy, nghệ nhân nên sản xuất mỗi ngày 10 bình hoa để thu được lợi nhuận cao nhất.