Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí A cho một phòng triển lãm. Điểm A thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha):x + y - z + 4 = 0$ và mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{o}$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn (P): x - 2y + 2z + 10 = 0. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn (P) là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của $m^{2}$).
Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Bước 1: Xác định đường tròn giao tuyến (C).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và bán kính $R = \sqrt{6}$.
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng quỹ đạo $(\alpha):x + y - z + 4 = 0$ là:
$d(I,(\alpha)) = \dfrac{|1 + 1 - 2 + 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
Bán kính của đường tròn khung thép $(r)$:
$r = \sqrt{R^{2} - {\lbrack d(I,(\alpha))\rbrack}^{2}} = \sqrt{6 - \left( \dfrac{4}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$
$= \sqrt{6 - \dfrac{16}{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Tâm H của đường tròn khung thép là hình chiếu của I trên $(\alpha)$. Đường thẳng IH đi qua I và vuông góc với $(\alpha)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2 - t} \end{array} \right.$ nên H(1 + t; 1 + t; 2 - t).
Thay tọa độ H vào phương trình $(\alpha)$ ta được:
$(1 + t) + (1 + t) - (2 - t) + 4 = 0$
$\left. \Rightarrow 3t + 4 = 0\Rightarrow t = \dfrac{- 4}{3} \right.$.
Suy ra tọa độ tâm H là: $H\left( {- \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}} \right)$.
Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa diện tích vùng sáng và khoảng cách
Vì trục hình nón luôn vuông góc với mặt sàn (P), bán kính vùng sáng $R_{s}$ trên sàn phụ thuộc vào khoảng cách h từ đèn A đến (P) và nửa góc ở đỉnh $(\beta = 30^{o})$: $R_{s} = h.\tan 30^{{^\circ}} = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$.
Diện tích vùng chiếu sáng: $S = \pi.R_{s}^{2} = \dfrac{\pi.h^{2}}{3}$.
Để S nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách $h = d(A,(P))$ với A nằm trên đường tròn tâm H, bán kính r.
Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách h
Khoảng cách từ tâm H đến mặt sàn (P): x - 2y + 2z + 10 = 0 là:
$d(H,(P)) = \dfrac{\left| {- \dfrac{1}{3} - 2.\left( {- \dfrac{1}{3}} \right) + 2.\left( \dfrac{10}{3} \right) + 10} \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{17}{3}$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng khung thép $(\alpha)$ và mặt sàn (P). Ta có:
$\cos\varphi = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha}.{\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha} \middle| . \middle| {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}$
$= \dfrac{\left| 1.1 + 1.( - 2) + ( - 1).2 \right|}{\sqrt{3}.3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\left. \Rightarrow\sin\varphi = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \right.$.
Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt sàn (P) và đi qua điểm $M_{0}$ trên khung thép (với $M_{0}$ là điểm “gần nhất” với mặt sàn (P)), khi đó $d(H,(Q)) = r.\sin\varphi = \dfrac{2}{3}$.
Khoảng cách nhỏ nhất từ A đến (P) là::
$h_{min} = d(H,(P)) - d(H,(Q)) = \dfrac{17}{3} - \dfrac{2}{3} = 5$.
Bước 4: Tính diện tích nhỏ nhất
Bán kính vùng được chiếu sáng nhỏ nhất trên mặt sàn là: $\min R_{s} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}$.
Giá trị diện tích nhỏ nhất là:
$S_{min} = \dfrac{\pi.5^{2}}{3} = \dfrac{25\pi}{3} \approx 26,1799...$
Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu đề bài: $S_{min} \approx 26,2$.
Danh sách bình luận