Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , cạnh bên SA = 2a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC.

Chứng minh \(\left( {(SCD),(SAC)} \right) = \widehat {OHD}\) và tính góc thông qua hệ thức lượng của tam giác.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi I là trung điểm CD. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên \(OI \bot CD\), \(SI \bot CD\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC.

\(\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow OD \bot SC\).

\(\left. \begin{array}{l}OH \bot SC\\OD \bot SC\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot (ODH) \Rightarrow SC \bot DH\).

\(\left. \begin{array}{l}(SCD) \cap (SAC) = SC\\OH \bot SC,OH \subset (SAC)\\DH \bot SC,DH \subset (SCD)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \left( {(SCD),(SAC)} \right) = \left( {OH,DH} \right) = \widehat {OHD}\).

Ta có: \(IC = OI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(OC = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\), SC = 2a.

\( \Rightarrow SI = \sqrt {S{C^2} - I{C^2}}  \)

\(= \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Xét tam giác SCD ta có:

\({S_{\Delta SCD}} = \frac{{CD.SI}}{2} = \frac{{DH.SC}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt {14} }}{2}}}{2} = \frac{{DH.2a}}{2}\)

\( \Leftrightarrow DH = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Xét tam giác vuông SOC ta có:

\(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  \)

\(= \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \);

\(\frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{C{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\)

\( \Leftrightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông DOH ta có:

\(\cos \widehat {DHO} = \frac{{OH}}{{DH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} \approx 0,64\).

Mở rộng

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):

\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).