Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC

1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN.

Phương pháp giải

+) Chứng minh:

\( A\), \(M\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\)

\(A\), \(N\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\)

\(A\), \(I\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\)

Từ đó suy ra: \(A\), \(O\), \(M\), \(N\), \(I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\).

+) Dựa vào các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất của tam giác cân để chứng minh: \(\widehat {AIN} = \widehat {AIM}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+) Xét đường tròn \((O)\) có:

\(AM\) và \(AN\) là hai đường tiếp tuyến

\( \Rightarrow \widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) và \(AM = AN\) (tính chất của hai đường tiếp tuyến)
+) Xét đường tròn \((O)\) có:

\(I\) là trung điểm của dây cung \(BC\)

\( \Rightarrow OI \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Hay \(\widehat {AIO} = 90^\circ \)
+) Xét tam giác \(AMO\) có: \(\widehat {AMO} = 90^\circ \) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(A\), \(M\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\). (1)

+) Xét tam giác \(ANO\) có: \(\widehat {ANO} = 90^\circ \) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(A\), \(N\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\). (2)

+) Xét tam giác \(AIO\) có: \(\widehat {AIO} = 90^\circ \) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(A\), \(I\), \(O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\). (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : \(A\), \(O\), \(M\), \(N\), \(I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\).

\( \Rightarrow \widehat {AIN} = \widehat {AMN}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung )

và \(\widehat {AIM} = \widehat {ANM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: \(AM = AN\)\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) (tính chất của tam giác cân)

Do đó: \(\widehat {AIN} = \widehat {AIM}\) 

Suy ra: \(IA\) là tia phân giác của \(\widehat{MIN}\)

Mở rộng

Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn:

- Điểm M nằm trên đường tròn (O) nếu OM = R.

- Điểm M nằm trên đường tròn (O) nếu OM < R.

- Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) nếu OM > R.

• Để chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn, ta làm như sau:

Cách 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm cho trước nào đó.

Cách 2. Nếu \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) thì A thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác vuông ABC, có AO là đường trung tuyến nên \(OA = \frac{1}{2}BC\) suy ra \(OA = OB = OC\).