Đề bài

Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC = BC = a\) và \(SH = 2a\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AM\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều \(ABC\) nên \(AM \bot BC\) và \(HM = \frac{1}{3}AM\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M ta có:

\(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\({a^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\\ \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)

Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

+) Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\), ta có:

\(S{M^2} = H{M^2} + S{H^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\(S{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {(2a)^2}\)

\(S{M^2} = {\left( {\frac{{7a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow SM = \frac{{7a\sqrt 3 }}{6}\)

Áp dụng công thức: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{7a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{7{a^2}\sqrt 6 }}{4}\\{S_d} = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Do đó: \({S_{xq}} = \frac{{7{a^2}\sqrt 6 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3 .\)

Mở rộng

 Lý thuyết

 

- Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nữa tích của chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

- Công thức tổng quát :  \({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d\) . Với :

+ \({S_{xq}}\) : Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

+ Chu vi đáy : C = 3.a   (a là độ dài cạnh đáy tam giác đều).

+ d: Độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều.
- Công thức tính diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}\).