Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

• A. \(\frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{4}\).
• B. \(\frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{2}\).
• C. \(\frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{6}\).
• D. \(\frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{12}\).

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của hình chóp tam giác đều, tính chiều cao khối chóp và áp dụng công thức thể tích $V = \dfrac{1}{3}Bh$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi M là trung điểm của BC, H là trọng tâm tam giác ABC.

Vì S.ABC là chóp tam giác đều nên \(SH \bot (ABC)\).

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} $

$\Rightarrow AH = \frac{2}{3} AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

$SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} $

$= \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}$

$= \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$.

$V = \frac{1}{3} SH \cdot dt(ABC) $

$= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) $

$= \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} $

$= \frac{a^2\sqrt{3b^2 - a^2}}{12}$.

Đáp án : D

Mở rộng

Hình chóp tam giác đều có:

- Đáy là tam giác đều.

- 3 cạnh bên bằng nhau.

- 3 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 3 cạnh đáy bằng nhau là ba cạnh của tam giác đáy.

- Chân đường cao kẻ từ đỉnh tới mặt đáy là điểm cách đều các đỉnh của tam giác đáy.