Cho tam giác ABC vuông tại A, có kẻ đường cao AH cắt tia phân giác BD tại K
a) Chứng minh . Tính AH
b) Chứng minh , suy ra hệ thức
Chứng minh cân
Cho tam giác ABC vuông tại A, có kẻ đường cao AH cắt tia phân giác BD tại K
a) Chứng minh . Tính AH
b) Chứng minh , suy ra hệ thức
Chứng minh câna) Áp dụng định lý Py-ta-go cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\). Thay số tính độ dài cạnh BC.
+) Chứng minh: \(\Delta AHB \sim \Delta CAB(g.g)\)
Từ đó, suy ra \( \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) . Thay số tính độ dài cạnh AH.
b) Chứng minh: \( \Delta ABD \sim \Delta HBK(g.g)\). Từ đó, ta có: \( \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BK}}\). Suy ra: \(BH.BD = AB.BK\) (đpcm)
c) Dựa vào hai góc phụ nhau, tính chất tia phân giác của góc, hai góc đối đỉnh ta chứng minh được \(\widehat {AKD} = \widehat {ADK}\). Suy ra: \(\Delta ADK\) cân tại A.
a) +) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) (cm)
+) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\\\widehat {ABC}{\rm{chung}}{\rm{.}}\)
\(\Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (Cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) (cm)
b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBK\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BHK}( = 90^\circ )\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBK}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBK(g.g)\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BK}}\) (Cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow BH.BD = AB.BK\) (đpcm)
c) Ta có: \(\widehat {ADK} + \widehat {ABD} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)
\(\widehat {BHK} + \widehat {DBH} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {DBH}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)) và \(\widehat {BKH} = \widehat {AKD}\) (hai góc đối đỉnh)
Nên \(\widehat {AKD} = \widehat {ADK}\). Suy ra: \(\Delta ADK\) cân tại A.
Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác và tam giác vuông
Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác đã học suy ra: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu có một trong các điều kiện:
+ Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia;
+ Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Định lý:
Trường hợp đồng dạng đặc biệt: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng.
Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có $\widehat A = \widehat {A'} = {90^o}$ và $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}}$ (h.1) thì $\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'$.
Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng thì:
+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;
+ Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng, tỉ số đường cao, tỉ số diện tích để tính toán.
Phương pháp:
+ Từ tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tỉ lệ và các góc bằng nhau, suy ra tỉ số diện tích và tỉ số đường cao
+ Từ đó tính cạnh, góc và các dữ kiện cần thiết
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và các vấn đề liên quan.
Phương pháp:
+ Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng
+ Từ đó suy ra các hệ thức cần chứng minh.
Danh sách bình luận