Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng  SB và SD. Biết \(\angle HAK = 40^0.\) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng

• A. \(40^o\).
• B. \(20^o\).
• C. \(80^o\).
• D. \(50^o\).

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {AHK} \right)\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Chứng minh \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).

Xác định 2 góc còn lại của thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {AHK} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(O = AC \cap BD\), trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = HK \cap SO\), trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(M = AI \cap SC\).

Khi đó ta có \(\left( {AHK} \right) \equiv \left( {AHMK} \right)\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \(AK \bot SC \)

\(\Rightarrow SC \bot \left( {AHMK} \right)\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot HM\\SC \bot KM\end{array} \right.\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset HM \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset KM \bot SC\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) \)

\(= \angle \left( {HM,KM} \right) = \angle HMK\).

Ta có: \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

\(\Rightarrow AH \bot HM \Rightarrow \angle AHM = {90^o}\).

Tương tự ta có \(\angle AKM = {90^o}\).

Xét tứ giác \(AHMK\) có:

\(\angle HAK + \angle AHM + \angle AKM + \angle HMK = {360^o}\)

\(\Leftrightarrow \angle HMK = {360^o} - {40^o} - {90^o} - {90^o}\)

\(= {140^o} > {90^o}\).

Vậy \(\angle \left( {HM,KM} \right) = {180^o} - {140^o} = {40^o}\)

\(\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = {40^o}\).

Đáp án : A

Mở rộng

Cách xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):

\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).