Đề bài

Một doanh nghiệp sản xuất thiết bị điện tử thông minh có quy trình vận hành và chính sách thuế như sau: Trong mỗi tháng, doanh nghiệp phải chi trả một khoản chi phí cố định 200 triệu đồng, khoản chi phí này không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất. Ngoài ra, để hoàn thiện mỗi sản phẩm, doanh nghiệp phải chịu chi phí biến đổi 1 triệu đồng cho mỗi sản phẩm. Mỗi sản phẩm được bán ra thị trường với giá 3 triệu đồng một sản phẩm. Nhằm khuyến khích gia tăng quy mô sản xuất, cơ quan quản lý áp dụng chính sách thuế tính theo tổng doanh thu trong tháng, với mức thuế suất giảm dần theo sản lượng. Nếu doanh nghiệp bán dưới 100 sản phẩm trong tháng, thuế suất là $10\%$ tổng doanh thu. Nếu bán từ 100 đến dưới 300 sản phẩm, thuế suất là $8\%$ tổng doanh thu. Nếu bán từ 300 sản phẩm trở lên, thuế suất là $5\%$ tổng doanh thu. Gọi x là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$). Tìm số sản phẩm tối thiểu để doanh nghiệp bắt đầu có lãi.

Phương pháp giải

Thiết lập hàm lợi nhuận L(x) = Doanh thu - Chi phí - Thuế theo từng khoảng giá trị của x.

Giải bất phương trình $L(x) > 0$ để tìm số lượng sản phẩm tối thiểu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi x là số lượng sản phẩm bán ra. Tổng doanh thu là $R(x) = 3x$ (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất là $C(x) = 200 + 1 \cdot x = x + 200$ (triệu đồng).

Lợi nhuận được tính bằng: $L(x) = R(x) - C(x) -$Thuế $= 2x - 200 -$Thuế.

- Trường hợp 1: $x < 100$. Thuế suất là $10\%$ doanh thu, tương ứng $0,1 \cdot 3x = 0,3x$.

$L(x) = 2x - 200 - 0,3x = 1,7x - 200$.

Để có lãi thì $\left. 1,7x > 200\Rightarrow x > 117,6 \right.$. Không có giá trị $x < 100$ thỏa mãn.

- Trường hợp 2: $100 \leq x < 300$. Thuế suất là $8\%$ doanh thu, tương ứng $0,08 \cdot 3x = 0,24x$.

$L(x) = 2x - 200 - 0,24x = 1,76x - 200$.

Để có lãi thì $\left. 1,76x > 200\Rightarrow x > 113,63 \right.$.

Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $x = 114$.

- Trường hợp 3: $x \geq 300$. Thuế suất là $5\%$ doanh thu, tương ứng $0,15 \cdot x$.

$L(x) = 2x - 200 - 0,15x = 1,85x - 200$. Với $x \geq 300$, doanh nghiệp luôn có lãi.

Vậy số sản phẩm tối thiểu để doanh nghiệp bắt đầu có lãi là 114 sản phẩm.