Trong không gian với hệ trục tọa độ $(Oxyz)$ cho điểm $A(1;2;3)$ và điểm $B(2;3;4).$ Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng $(Oxy)$, N thuộc trục Oz sao cho AN vuông góc với AB.
Tính tọa độ vectơ bằng hiệu tọa độ các điểm.
Viết phương trình đường thẳng AB, tìm giao điểm với mặt phẳng $(Oxy)$.
Sử dụng điều kiện vuông góc qua tích vô hướng để tìm tọa độ điểm N trên trục Oz.
Tính góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{MN},\overset{\rightarrow}{MB}$ bằng công thức cosin.
a) Đúng. $\overset{\rightarrow}{AB} = (2 - 1;3 - 2;4 - 3) = (1;1;1)$.
b) Sai. Phương trình đường thẳng AB qua $A(1;2;3)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{AB}$: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 2 + t} \\ {z = 3 + t} \end{array} \right.,t \in {\mathbb{R}}$.
$ AB \cap (Oxy)\Rightarrow z = 0$
$\Rightarrow 3 + t = 0\Rightarrow t = - 3 $.
Khi đó $M( - 2; - 1;0)$.
c) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{MA} = (1 - ( - 2);2 - ( - 1);3 - 0) = (3;3;3) = 3\overset{\rightarrow}{AB}$.
d) Đúng. Gọi $N(0;0;z) \in Oz$, $\overset{\rightarrow}{AN} = ( - 1; - 2;z - 3)$.
$ AN\bot AB\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AN} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} = 0$
$ \Leftrightarrow - 1 - 2 + z - 3 = 0\Leftrightarrow z = 6 $.
Vậy $N(0;0;6)$.
Xét tam giác NMB: $\overset{\rightarrow}{MN} = (2;1;6)$, $\overset{\rightarrow}{MB} = (4;4;4)$.
Ta có $\cos\widehat{NMB} = \dfrac{9}{\sqrt{123}}$$\left. \Rightarrow\tan\widehat{NMB} = \dfrac{\sqrt{1 - \cos^{2}\widehat{NMB}}}{\cos\widehat{NMB}} = \dfrac{\sqrt{42}}{9} \right.$.
Danh sách bình luận