Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $12$. Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Gọi M là trung điểm CD.

Dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta tìm được OH là khoảng cách cần tìm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

O là trọng tâm tam giác △BCD $\left. \Rightarrow AO\bot(BCD) \right.$.

Gọi M là trung điểm của CD $\left. \Rightarrow BM\bot CD\Rightarrow OM\bot CD \right.$.

Ta có: $\left. CD\bot OM\Rightarrow CD\bot(AOM) \right.$.

Mà $CD\bot AO$.

Kẻ $\left. OH\bot AM\Rightarrow CD\bot OH \right.$.

$\left. \Rightarrow OH\bot(ACD) \right.$.

Khoảng cách từ O đến (ACD): $d(O;(ACD)) = OH$.

$BM = 12\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

$BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

$OM = \dfrac{1}{3}BM = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Tính AO bằng định lý Pythagore:

$AO = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{12^{2} - {(4\sqrt{3})}^{2}} $

$= \sqrt{144 - 48} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.

Trong tam giác vuông △AOM, vuông tại O:

$\dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{AO^{2}} + \dfrac{1}{OM^{2}} = \dfrac{1}{{(4\sqrt{6})}^{2}} + \dfrac{1}{{(2\sqrt{3})}^{2}} $

$= \dfrac{1}{96} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{8}{96} = \dfrac{1}{12}$.