Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\bot\left( {ABCD} \right)$.

a) Chứng minh rằng $BC\bot\left( {SAB} \right)$.

b) Cho $SA = AB = a,\, AD = a\sqrt{3}$. Gọi $\varphi$ là số đo góc phẳng của nhị diện $\left\lbrack {B,SC,D} \right\rbrack$. Tính $\cos\varphi$.

Phương pháp giải

a) Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng khác cắt nhau tại 1 điểm tạo thành 1 mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

b) Hạ các đường vuông góc để tìm góc phẳng nhị diện. Áp dụng định lý cosin để tìm $\cos\varphi$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Chứng minh $BC\bot\left( {SAB} \right)$.

+ $BC\bot AB$ (ABCD là hình chữ nhật).

+ $BC\bot SA$ vì $SA\bot\left( {ABCD} \right)$.

+ $AB \cap SA = A$.

+ $AB,SA\, \subset \left( {SAB} \right)$.

Kết luận $BC\bot\left( {SAB} \right)$.

b) Hạ $AH\bot SB,\, AI\bot SC,\, AK\bot SD$.

Ta chứng minh được $\left( {AHIK} \right)\bot SC$.

Khi đó: $SC\bot IH$, $SC\bot IK$.

Vậy góc phẳng của nhị diện $\left\lbrack {B,SC,D} \right\rbrack$ là $\widehat{HIK} = \varphi$.

Tính được $IH = \dfrac{a\sqrt{30}}{10}$, $IK = \dfrac{a\sqrt{5}}{10},\, HK = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIK ta tính được:

$\cos\varphi = \dfrac{-\sqrt{6}}{4}$.