Ông nội của bạn Kiên là cựu chiến binh, ông từng trực tiếp tham gia trận đánh 30/4/1975 và tiếp quân Dinh Độc Lập. Năm nay ông được đơn vị tặng quà lưu niệm là một chiếc đồng hồ treo tường rất đẹp.
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có tâm O cạnh bằng 2 dm, nơi đây lưu giữ hình ảnh chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào Dinh Độc Lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng 2 dm.
- Đường cong trung gian có tên (L) là tập hợp tất cả điểm P sao cho nếu kẻ tia Ot bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại M, N thì P là trung điểm MN (O là tâm đường tròn). Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) và hình vuông bên trong mặt đồng hồ được mạ vàng 18K. Bạn Kiên rất muốn biết xem diện tích của phần này là bao nhiêu theo đơn vị $dm^{2}$. Em hãy tính giúp bạn. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Xác định phương trình đường cong (L) chứa điểm P từ đó tính diện tích bằng tích phân.
Xét hình vẽ sau với O là tâm hình vuông và tia Ox đi qua trung điểm H của một cạnh hình vuông, gọi $\varphi$ là góc hợp bởi tia Ox và tia Ot với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$.
Ta có $M(1;\tan\varphi)$, $ N(2\cos\varphi;2\sin\varphi)$
$\Rightarrow P\left( {\dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2};\dfrac{\tan\varphi + 2\sin\varphi}{2}} \right) $.
Đặt $\left. x = \dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2}\Leftrightarrow\cos\varphi = \dfrac{2x - 1}{2} \right.$.
Với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$ thì $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.
$\Rightarrow\tan\varphi + 2\sin\varphi = \dfrac{\sin\varphi + 2\sin\varphi.\cos\varphi}{2\cos\varphi} $
$= \dfrac{\sin\varphi.2x}{2x - 1} = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}$.
Vậy P luôn thuộc đường cong $y = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}$ với $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) và hình vuông:
$S = 8\left\lbrack {{\int\limits_{0}^{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}{xdx}} + {\int\limits_{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}^{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}dx}}} \right\rbrack - 2^{2} \approx 3,67$.
Danh sách bình luận