Đề bài

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 2), B(2; -2; 0). Gọi $I_{1}(1;1; - 1)$ và $I_{2}(3;1;1)$ lần lượt là tâm của hai đường tròn thuộc hai mặt phẳng phân biệt và cùng nhận AB làm dây cung. Biết rằng tồn tại một mặt cầu (S) qua cả hai đường tròn đó. Tính bán kính R của mặt cầu (S) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Gọi M là tâm mặt cầu (S). Vì hai đường tròn tâm $I_{1}$, $I_{2}$ thuộc (S) nên $\left\{ \begin{array}{l} {MI_{1}\bot\left( {I_{1}AB} \right)} \\ {MI_{2}\bot\left( {I_{2}AB} \right)} \end{array} \right.$.

Lập phương trình hai đường thẳng $MI_{1}$, $MI_{2}$ và tìm giao điểm M, từ đó tính bán kính của (S).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi M là tâm mặt cầu (S). Vì hai đường tròn tâm $I_{1}$, $I_{2}$ thuộc (S) nên $\left\{ \begin{array}{l} {MI_{1}\bot\left( {I_{1}AB} \right)} \\ {MI_{2}\bot\left( {I_{2}AB} \right)} \end{array} \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{I_{1}A} = ( - 1;1;3)$, $\overset{\rightarrow}{I_{1}B} = (1; - 3;1)$, $\overset{\rightarrow}{I_{2}A} = ( - 3;1;1)$, $\overset{\rightarrow}{I_{2}B} = ( - 1; - 3; - 1)$.

Gọi $\overset{\rightarrow}{u}$, $\overset{\rightarrow}{v}$ lần lượt là vecto chỉ phương của $MI_{1}$, $MI_{2}$. Ta có:

$\overset{\rightarrow}{u} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{I_{1}A},\overset{\rightarrow}{I_{1}B}} \right\rbrack = (10;4;2)$; $\overset{\rightarrow}{v} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{I_{2}A},\overset{\rightarrow}{I_{2}B}} \right\rbrack = (2; - 4;10)$.

Phương trình tham số của $MI_{1}$: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 10t} \\ {y = 1 + 4t} \\ {z = - 1 + 2t} \end{array} \right.$ $(t \in {\mathbb{R}})$.

Phương trình tham số của $MI_{2}$: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2s} \\ {y = 1 - 4s} \\ {z = 1 + 10s} \end{array} \right.$ $(s \in {\mathbb{R}})$.

Tìm giao điểm M: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {1 + 10t = 3 + 2s} \\ {1 + 4t = 1 - 4s} \\ {- 1 + 2t = 1 + 10s} \end{array} \right.\Leftrightarrow t = - s = \dfrac{1}{6} \right.$.

Khi đó $M\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{MA} = \left( {- \dfrac{8}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right)$.

Vậy $R = MA = \sqrt{\left( {- \dfrac{8}{3}} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{129}}{3} \approx 3,79$.