Chi đoàn X dự định dựng một lều trại đã ngoại hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh $SB = 5$, $CD = 3\sqrt{2}$. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).
b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.
c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\sqrt{6}$.
d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\frac{3}{2};0;2)$.
a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).
b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.
c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\sqrt{6}$.
d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\frac{3}{2};0;2)$.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.
a) Đúng. ABCD là hình vuông, cạnh bằng \(3\sqrt 2 \) nên độ dài đường chéo là AC = BD = 6.
Khi đó OC = OD = 3. C thuộc tia Oy nên C(0; 3; 0), D thuộc tia đối của tia Ox nên D(-3; 0; 0).
b) Sai. \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\). S thuộc tia Oz nên S(0; 0; 4).
Mặt cầu đường kính SC có tâm I là trung điểm của SC. Khi đó \(I\left( {0;\frac{3}{2};2} \right)\).
Bán kính mặt cầu là: \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{SB}}{2} = \frac{5}{2}\).
Phương trình mặt cầu: \({x^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 2)^2} = \frac{{25}}{4}\).
c) Sai. B(3; 0; 0), M là trung điểm của SD nên \(M\left( { - \frac{3}{2};0;2} \right)\).
\(\overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{9}{2};0;2} \right) \Rightarrow BM = \sqrt {{{\left( { - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \frac{{\sqrt {97} }}{2}\).
d) Đúng. G là trọng tâm tam giác SCD nên \(G\left( { - 1;1;\frac{4}{3}} \right)\).
(SBD) chứa cả hai trục Ox và Oz nên có phương trình y = 0.
G và A có tung độ trái dấu nên nằm ở hai phía của mặt phẳng (SBD).
Gọi A’ đối xứng với A qua (SBD). Khi đó \(\left| {EG - EA} \right| = \left| {EG - EA'} \right| \le A'G\), dấu “=” xảy ra khi A’, E, G thẳng hàng hay E là giao điểm của A’G cắt (SBD).
A(0; -3; 0), suy ra A’ (0; 3; 0).
Đường thẳng A’G đi qua A’(0; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow {A'G} = \left( { - 1; - 2;\frac{4}{3}} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 3 - 2t\\z = \frac{4}{3}t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Tìm giao điểm E: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\0 = 3 - 2t\\z = \frac{4}{3}t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow E = \left( { - \frac{3}{2};0;2} \right)\).
Danh sách bình luận