Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và BD bằng \(\frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\). Thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng

• A. \(8{a^3}\).
• B. \({a^3}\).
• C. \(3\sqrt 3 {a^3}\).
• D. \(\frac{{3\sqrt 6 }}{4}{a^3}\).

Phương pháp giải

Đựa về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trên mặt đáy (ABCD) dựng hình bình hành AEBD như hình vẽ. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AE, B’H.

Có BD // AE nên BD // (B’AE).

Suy ra \(d\left( {BD,B'A} \right) = d\left( {BD,(B'AE)} \right)\).

\(\left. \begin{array}{l}BH \bot AE\\BB' \bot (ABCD) \Rightarrow BB' \bot AE\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow AE \bot (BB'H) \Rightarrow AE \bot BK\) (1)

Mà \(HB' \bot KB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(KB \bot (B'AE)\).

Vậy \(d\left( {BD,B'A} \right) = BK\).

Hai tam giác AHB và ABE đồng dạng (g.g) nên:

\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BH}}{{EB}} \Rightarrow BH = \frac{{AB.EB}}{{AE}} = \frac{{a.a}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác HBB’ vuông tại B, đường cao BK:

\(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{H^2}}} + \frac{1}{{B'{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{3}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{B'{B^2}}}\)

\( \Rightarrow B'B = 2a\).

Thể tích khối lập phương là: \(V = {(2a)^3} = 8{a^3}\).

Đáp án : A

Mở rộng

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta thực hiện:

TH1: a không vuông góc với b.

- B1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.

- B2: Xác định hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).

- B3: Xác định giao điểm K của a’ và b.

- B4: Xác định hình chiếu vuông góc H của K trên a.

- B4: Khi đó, \(d(a,b) = d\left( {a,(P)} \right) = HK\). Tính HK.

TH2: a vuông góc với b.

- B1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a.

- B2: Xác định giao điểm H của a và (P).

- B3: Xác định hình chiếu vuông góc K của H trên b.

- B4: Khi đó, \(d(a,b) = HK\).