Đề bài

Từ bảng gỗ hình vuông ABCD có độ dài cạnh 12 cm, bạn Anh chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau rồi vẽ một hình càng cua được giới hạn bởi các cung phần tư của các đường tròn tâm A, E, F, G (xem hình vẽ). Tính diện tích hình càng cua (phần tô đậm trong hình vẽ) theo đơn vị \(c{m^2}\). (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Cung phần tư của đường tròn tâm A:

\({x^2} + {(y - 12)^2} = 144 \Rightarrow y =  - \sqrt {144 - {x^2}}  + 12\).

Cung phần tư của đường tròn tâm E:

\({(x - 8)^2} + {y^2} = 64 \Rightarrow y = \sqrt {64 - {{(x - 8)}^2}} \).

Cung phần tư của đường tròn tâm F:

\({(x - 8)^2} + {(y - 4)^2} = 16 \Rightarrow y = \sqrt {16 - {{(x - 8)}^2}}  + 4\).

Cung phần tư của đường tròn tâm G:

\({(x - 4)^2} + {(y - 12)^2} = 64 \Rightarrow y =  - \sqrt {64 - {{(x - 4)}^2}}  + 12\).

\({S_1} = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt {64 - {{(x - 8)}^2}}  - \left( { - \sqrt {144 - {x^2}}  + 12} \right)} \right|dx}  \approx 18,75\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

\({S_2} = \int\limits_4^8 {\left| {\sqrt {64 - {{(x - 8)}^2}}  - \left( {\sqrt {16 - {{(x - 8)}^2}}  + 4} \right)} \right|dx}  \approx 2,05\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

\({S_3} = \int\limits_4^{12} {\left| { - \sqrt {64 - {{(x - 4)}^2}}  + 12 - \left( { - \sqrt {144 - {x^2}}  + 12} \right)} \right|dx}  \approx 15,74\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hình càng cua là: \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} \approx 37\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).