Đề bài

Một công ty kiến trúc thiết kế một trạm dừng chân hiện đại có hình dáng là một khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', đảm bảo các yêu cầu sau:

- Mặt sàn (ABC) là một tam giác đều có cạnh bằng 6 m.

- Cột trụ chính AA' được đặt nghiêng sao cho hình chiếu vuông góc của đỉnh mái A' lên mặt sàn (ABC) trùng khớp với trọng tâm G của tam giác ABC.

- Khoảng cách giữa cột trụ AA' và mép sàn BC là \(1,5\sqrt 3 \) m.

Phần không gian giới hạn trong khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là \(18\sqrt m \) \(({m^3})\). Tìm m.

Phương pháp giải

Tìm đoạn vuông góc chung của AA’ và BC, áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng, định lí Pythagore,... để tính độ dài chiều cao khối lăng trụ, từ đó tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó A, G, M thẳng hàng.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’.

Vì tam giác ABC đều nên \(AM \bot BC\). Mặt khác, \(A'G \bot (ABC) \Rightarrow A'G \bot BC\).

\(\left. \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'G \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (A'AM) \Rightarrow BC \bot MH\).

\(\left. \begin{array}{l}HM \bot BC,M \in BC\\HM \bot AA',H \in AA'\end{array} \right\}\)

\(\Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = MH = 1,5\sqrt 3  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) (m).

Tam giác đều ABC có cạnh bằng 6, suy ra \(AM = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \) (m).

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.3\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) (m).

Xét tam giác AHM vuông tại H:

\(AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{9}{2}\) (m).

Hai tam giác AGA’ và AHM đồng dạng (g.g) nên:

\(\frac{{AH}}{{AG}} = \frac{{HM}}{{A'G}} \Leftrightarrow A'G = \frac{{AG.HM}}{{AH}} = \frac{{2\sqrt 3 .\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{9}{2}}} = 2\) (m).

\(V = A'G.{S_{ABC}} = 2.\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 \) \(({m^3})\). Vậy m = 3.