Đề bài

Một nhà máy chế tạo linh kiện điện tử đặc chủng, số lượng linh kiện được sản xuất mỗi tháng là x \((x \in {\mathbb{N}^*},100 \le x \le 5000)\). Toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ với giá bán cố định là 200 triệu đồng/linh kiện. Doanh thu được xác định theo mô hình tuyến tính F(x) = 200x, tổng chi phí sản xuất lại tăng theo hàm mũ và được cho bởi công thức: \(C(x) = 100.{e^{0,001x}}\) (đơn vị: triệu đồng). Để nhà máy đạt lợi nhuận tối thiểu là 25 tỷ đồng, nhà máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu linh kiện trong tháng đó?

Phương pháp giải

Lập hàm lợi nhuận theo x, ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đổi: 25 tỷ đồng = 25 000 triệu đồng.

Lợi nhuận: \(P(x) = F(x) - C(x) = 200x - 100{e^{0,001x}}\) (triệu đồng).

Theo yêu cầu đề bài: \(P(x) = 200x - 100{e^{0,001x}} \ge 25000\).

Xét \(P'(x) = 200 - 0,1.{e^{0,001x}} = 0 \Leftrightarrow x \approx 7601 \notin \left[ {100;5000} \right]\).

Khi \(x \in \left[ {100;5000} \right]\) thì P’(x) > 0 với mọi x nên hàm P(x) đồng biến trên [100; 5000].

\(P(x) = 25000 \Leftrightarrow 200x - 100{e^{0,001x}} = 25000 \Leftrightarrow x \approx 125,57\).

Vì hàm P(x) đồng biến trên [100; 5000] nên giá trị nguyên x nhỏ nhất để \(P(x) \ge 25000\) là 126.

Vậy nhà máy cần sản xuất ít nhất 126 linh kiện trong tháng đó.