Một cốc cà phê nóng có nhiệt độ ban đầu là $80^o C$ được đặt trong một phòng có nhiệt độ ổn định là $20^o C$. Sau 15 phút, nhiệt độ của cốc cà phê giảm xuống còn $50^o C$ (hình vẽ minh họa). Gọi T(t) là nhiệt độ của cốc cà phê tại thời điểm t (phút) và y(t) = T(t) - 20 là chênh lệch nhiệt độ giữa cà phê và môi trường. Biết rằng tốc độ thay đổi chênh lệch nhiệt độ tỉ lệ thuận với chính nó, tức là y'(t) = k . y(t) (với k là hằng số).
a) Hằng số tốc độ làm mát của cốc cà phê $k = \frac{1}{15} \ln 2$.
b) Sau 30 phút kể từ khi đặt vào phòng, nhiệt độ của cốc cà phê là $30^o C$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
c) $y(t) = 60e^{kt}$ với mọi $t \geq 0$.
d) Tại thời điểm ban đầu (t = 0), giá trị của hằng số C trong biểu thức $y(t) = e^{kt+C}$ là $C = \ln 60$.
a) Hằng số tốc độ làm mát của cốc cà phê $k = \frac{1}{15} \ln 2$.
b) Sau 30 phút kể từ khi đặt vào phòng, nhiệt độ của cốc cà phê là $30^o C$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
c) $y(t) = 60e^{kt}$ với mọi $t \geq 0$.
d) Tại thời điểm ban đầu (t = 0), giá trị của hằng số C trong biểu thức $y(t) = e^{kt+C}$ là $C = \ln 60$.
Ứng dụng nguyên hàm để giải bài toán.
c) Đúng. \(y'(t) = k.y(t) \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{dt}} = k.y \)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{y}dy = kdt \Leftrightarrow \int {\frac{1}{y}dy} = \int {kdt} \)
\( \Leftrightarrow \ln \left| y \right| = kt + C \Leftrightarrow y = {e^{kt + C}} \)
\(\Leftrightarrow y = {e^{kt}}.{e^C} \Leftrightarrow y = C'{e^{kt}}\) (đặt \(C' = {e^C}\) là hằng số).
Ta có \(y(0) = C'.{e^{k.0}} = C'\). Mặt khác, theo giả thiết: y(0) = T(0) – 20 = 80 – 20 = 60.
Do đó \(y(0) = C' = 60 \Rightarrow y(t) = 60{e^{kt}}\) (với mọi \(t \ge 0\)).
d) Đúng. \(y(0) = {e^{k.0 + C}} = 60\)
\(\Leftrightarrow {e^C} = 60 \Leftrightarrow C = \ln 60\).
a) Sai. Theo giả thiết:
y(15) = T(15) – 20 = 50 – 20 = 30.
Suy ra \(y(15) = 60{e^{k.15}} = 30 \Leftrightarrow {e^{15k}} = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow k = \frac{1}{{15}}\ln \frac{1}{2} = - \frac{1}{{15}}\ln 2\).
b) Sai. \(y(30) = T(30) - 20\)
\(\Leftrightarrow T(30) = y(30) + 20 \)
\(= 60{e^{\left( { - \frac{1}{{15}}\ln 2} \right).30}} + 20 = 35\).
Vậy sau 30 phút kể từ khi đặt vào phòng, nhiệt độ của cốc cà phê là \({35^o}C\).
Danh sách bình luận