Xét một hệ trục tọa độ Oxyz được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một cục đá có dạng hình cầu được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 6$, cục đá nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên cục đá, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{1}$. Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với cục đá và I là tâm cục đá (hình vẽ minh họa).
a) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng $2\sqrt{6}$.
b) Giả sử tại các điểm A và B trên cục đá có các khe hở nhỏ vừa đủ cho một con kiến lách qua. Một con kiến bò trên bề mặt ngoài của cục đá từ A đến B với tốc độ không đổi 2 cm/s, thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là 21 giây (làm tròn đến hàng đơn vị).
c) Nếu $\cos \widehat{AIB}$ bằng $\frac{a}{b}$ (phân số tối giản) thì giá trị $a^2 + b^2 = 82$.
d) Tâm I(2; -1; -1) và bán kính $R = \sqrt{6}$.
a) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng $2\sqrt{6}$.
b) Giả sử tại các điểm A và B trên cục đá có các khe hở nhỏ vừa đủ cho một con kiến lách qua. Một con kiến bò trên bề mặt ngoài của cục đá từ A đến B với tốc độ không đổi 2 cm/s, thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là 21 giây (làm tròn đến hàng đơn vị).
c) Nếu $\cos \widehat{AIB}$ bằng $\frac{a}{b}$ (phân số tối giản) thì giá trị $a^2 + b^2 = 82$.
d) Tâm I(2; -1; -1) và bán kính $R = \sqrt{6}$.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong không gian.
d) Đúng. Mặt cầu có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 1)^2} = 6\) có tâm I(2; -1; -1) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
a) Sai. d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2; - 3;1)\) và đi qua điểm M(-2; -1; 0). Ta có \(\overrightarrow {IM} = ( - 4;0;1)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 4}&0\end{array}} \right|} \right) \)
\(= \left( { - 3; - 6; - 12} \right)\).
Khoảng cách từ I đến d: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 12)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
c) Đúng. Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Khi đó \(IH = d(I,d) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\). Xét mặt phẳng chứa I và vuông góc với d, mặt phẳng này cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn và cắt hai tiếp diện theo hai tiếp tuyến HA và HB.
Xét tam giác IAH vuông tại A: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).
Do tính chất đối xứng, \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).
\(\cos \widehat {AIB} = \cos (2\widehat {AIH}) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 \)
\(= 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{{ - 1}}{9} = \frac{a}{b}\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = {( - 1)^2} + {9^2} = 82\).
b) Đúng. Giả sử cung nhỏ AB có số đo \(\alpha \) (rad). Khi đó \(\alpha = \arccos \frac{{ - 1}}{9}\) (rad).
Độ dài cung AB là: \(s = r\alpha = \sqrt 6 \arccos \frac{{ - 1}}{9}\) dm \( = 10\sqrt 6 \arccos \frac{{ - 1}}{9}\) cm.
Thời gian con kiến bò là \(t = \frac{s}{v} = \frac{{10\sqrt 6 \arccos \frac{{ - 1}}{9}}}{2} \approx 21\) (giây).
Danh sách bình luận