Bài 5 :
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\). Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.
a) Với mỗi \(x \in \left[ {1;2} \right]\), gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).
Cho \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\). So sánh hiệu \(S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)\) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\).
b) Cho \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\). Tương tự phần a, đánh giá hiệu \(S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right)\) và từ đó suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\).
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có
\(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\).
Từ đó chứng minh \(S'\left( x \right) = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)\). Người ta chứng minh được \(S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4\), tức là S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Sử dụng điều này với lưu ý \(S\left( 1 \right) = 0\) và diện tích cần tính \(S = S\left( 2 \right)\), hãy tính S.
Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\). Hãy so sánh S và \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\).
Danh sách bình luận