Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $(E)$ có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên $(E)$ đến hai tiêu điểm bằng $8$ và tiêu cự của $(E)$ bằng $2\sqrt{7}$. Phương trình chính tắc của $(E)$ là

A.
$\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$.
B.
$\dfrac{x^{2}}{16} - \dfrac{y^{2}}{9} = 1$.
C.
$\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$.
D.
$9x^{2} + 16y^{2} = 1$.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$.

Phương trình (E) $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tiêu cự:$\left. F_{1}F_{2} = 2c = 2\sqrt{7}\Rightarrow c = \sqrt{7} \right.$.

$\left. 2a = 8\Rightarrow a = 4 \right.$.

$7 = a^{2} - b^{2} \Rightarrow b = 3 $.

Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$.

Đáp án : C

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.

${c^2} = {a^2} + {b^2}$.
B.

${b^2} = {a^2} + {c^2}$.
C.

${a^2} = {b^2} + {c^2}$.
D.

$c = a + b$ .

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:

A.

$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
B.

$\dfrac{2}{{\sqrt 2 }}$
C.

$\dfrac{1}{3}$
D.

$1$

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho elip (E) có tiêu điểm ${F_2}(4;0)$ và một đỉnh là $A(5;0)$. Phương trình chính tắc của elip (E) là:

A.

$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
B.

$\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
C.

$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$
D.

$\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = 1$.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?

A.

Cho điểm $F$ cố định và một đường thẳng $\Delta $ cố định không đi qua $F$. Elip $\left( E \right)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $F$ bằng khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $.
B.

Cho ${F_1},{\rm{ }}{F_2}$ cố định với ${F_1}{F_2} = 2c,{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)$. Elip $\left( E \right)$ là tập hợp điểm $M$ sao cho $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a$ với $a$ là một số không đổi và $a < c$.
C.

Cho ${F_1},{\rm{ }}{F_2}$ cố định với ${F_1}{F_2} = 2c,{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)$ và một độ dài $2a$ không đổi $\left( {a > c} \right)$. Elip $\left( E \right)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho $M \in \left( P \right) \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a$.
D.

Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$$\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a}$.
B.

Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$$\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = \dfrac{a}{c}$.
C.

Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$$\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = - \dfrac{c}{a}$.
D.

Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$$\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = - \dfrac{a}{c}$.

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Elip (E): $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ có tâm sai bằng bao nhiêu?

A.

$\dfrac{4}{5}$.
B.

$\dfrac{5}{4}$.
C.

$\dfrac{5}{3}$.
D.

$\dfrac{3}{5}$.

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng $6$ và đi qua điểm $A\left( {0;5} \right)$.

A.

$\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = 1$.
B.

$\dfrac{{{x^2}}}{{34}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
C.

$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$
D.

$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của ${F_1}{F_2}$ , tia Ox trùng tia$O{F_2}$(H721).

a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm ${F_1},{F_2}$.

b) Giải thích vì sao điểm M(x;y) thuộc elip khi và chỉ khi $\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a$.

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bị tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bị đặt tại tiêu điểm còn lại của bạn, thì sau khi va vào thành bàn, bị sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bị hay không? Vì sao?

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho Elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $A\left( {5;0} \right)$ và có một tiêu điểm là ${F_2}\left( {3;0} \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

B. $\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1$

C. $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

D. $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$

a) Tìm các giao điểm ${A_1},{A_2}$ của (E) với trục hoành và các giao điểm ${B_1},{B_2}$ của (E) với trục tung. Tính ${A_1}{A_2},{B_1}{B_2}$.

b) Xét một điểm bất kì $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ thuộc (E).

Chứng minh rằng, ${b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}$ và $b \le OM \le a$.

Chú ý: ${A_1}{A_2},{B_1}{B_2}$tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4.

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho elip (E) có các tiêu điểm ${F_1}$ và ${F_2}$ và đặt ${F_1}{F_2} = 2c$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ${F_1}( - c;0)$ và ${F_2}(c;0)$

Xét điểm $M(x;y)$

a) Tính ${F_1}M$ và ${F_2}M$ theo x, y và c.

b) Giải thích phát biểu sau:

$M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a$.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm ${F_1}$ và ${F_2}$. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn ${F_1}{F_2}$. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách ${F_1}{F_2}$ và $2a + 2c$ là độ dài của vòng dây.

Tính tổng hai khoảng cách ${F_1}M$ và ${F_2}M$.

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

c) ${x^2} + 16{y^2} = 16$

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh $(5;0),(0;4)$

b) Đỉnh $(5;0)$, tiêu điểm $(3;0)$

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$, ở đó ${F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c$ (với a > c > 0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của ${F_1}{F_2}$, trục Oy là đường trung trực của ${F_1}{F_2}$, và ${F_2}$ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, ${F_1}\left( { - c;0} \right)$ và ${F_2}\left( {c;0} \right)$ là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) ${A_1}\left( { - a;0} \right)$ và ${A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$ đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) ${B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)$ và${B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)$ , ở đó$b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} $, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0 ; 3) và $N\left( {3; - \frac{{12}}{5}} \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

c) $\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$

d) $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$ .Tìm tọa độ các giao điểm của $\left( E \right)$ với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của $\left( E \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Viết phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$, biết tọa độ hai giao điểm của $\left( E \right)$ với Ox và Oy lần lượt là ${A_1}\left( { - 5;0} \right)$ và ${B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có ${A_1}{A_2}$ = 768 800 km và ${B_1}{B_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}767{\rm{ }}619{\rm{ }}km$ (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho elip $\left( E \right)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Viết phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$, biết $\left( E \right)$ đi qua điểm $A\left( {6;0} \right)$ và có tiêu cực bằng 8.

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc elip $\left( E \right)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

a) Tính $M{F_1}^2 - M{F_2}^2$ theo ${x_0};{y_0}$. Từ đó tính $M{F_1}^2 - M{F_2}^2$ theo ${x_0};{y_0}$.

b) Tìm điểm M sao cho $M{F_2} = 2M{F_1}$.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai điểm ${F_1},{F_2}$ (tức là góc $\widehat {{F_1}M{F_2}}$) là lớn nhất?

Xem lời giải >>