Đề bài

Trong một trò chơi “giải mật mã tại ngày hội khoa học”, ban tổ chức chuẩn bị một hộp chứa 9 tấm thẻ được ghi các số từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Một người chơi rút ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp. Sau đó các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành a < b < c < d < e. Người chơi được coi là giải được mật mã nếu trong năm số này tồn tại bốn số liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất để người chơi giải được mật mã là A. Giá trị $\dfrac{1}{A}$ là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp liệt kê.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{9}^{5} = 126$.

Gọi d là công sai của cấp số cộng có thể lập được.

Với d = 1, có 6 bộ (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); ...; (6; 7; 8; 9).

Với d = 2, có 3 bộ (1; 3; 5; 7); (2; 4; 6; 8); (3; 5; 7; 9).

Với d > 2, không có bộ nào.

Có tất cả 9 bộ, mỗi bộ chọn thêm 1 số để được 5 số thoả yêu cầu bài toán, do đó có 9.5 = 45 (bộ).

Tuy nhiên có 5 bộ trùng nhau:

+) (1; 2; 3; 4) thêm số 5 và (2; 3; 4; 5) thêm số 1.

+) (2; 3; 4; 5) thêm số 6 và (3; 4; 5; 6) thêm số 2.

+) (3; 4; 5; 6) thêm số 7 và (4; 5; 6; 7) thêm số 3.

+) (4; 5; 6; 7) thêm số 8 và (5; 6; 7; 8) thêm số 4.

+) (5; 6; 7; 8) thêm số 9 và (6; 7; 8; 9) thêm số 5.

+) (1; 3; 5; 7) thêm số 9 và (3; 5; 7; 9) thêm số 1.

Do đó có 45 - 6 = 39 (bộ).

Xác suất là $A = \dfrac{39}{126} = \dfrac{13}{42}\Rightarrow\dfrac{1}{A} = \dfrac{42}{13} = 3,23$.