Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x < 3000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x) = 3000x - x^{2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x) = x^{2} + 1440x + 50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 1000). Hỏi mức thuế phụ thu t (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?
Lập hàm lợi nhuận và sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để giải:
Hàm số $y = ax^2 +bx + c$ với a < 0 đạt GTLN khi $x = - \dfrac{b}{2a}$.
Hàm lợi nhuận: P(x) = F(x) – G(x) – xt
$= 3000x - x^{2} - \left( {x^{2} + 1440x + 50} \right) - xt$
$= - 2x^{2} + (1560 - t)x - 50$.
Lợi nhuận P(x) lớn nhất khi $x = - \dfrac{1560 - t}{2.( - 2)} = \dfrac{1560 - t}{4}$.
Khi đó, số tiền thuế thu được là $xt = \dfrac{1560 - t}{4}.t = \dfrac{1560t - t^{2}}{4}$.
Số tiền thuế lớn nhất khi $1560t - t^{2}$ lớn nhất, hay $t = - \dfrac{1560}{2.( - 1)} = 780 \in (0;1000)$ (thỏa mãn).
Danh sách bình luận