Hình bên là hình ảnh một viên gạch men có dạng một hình vuông có độ dài cạnh 8 dm. Hai hình Elip đều có độ dài trục lớn 8 dm và độ dài trục bé 4 dm (các trục song song các cạnh tương ứng của hình vuông và có tâm đối xứng là tâm hình vuông). Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh hình vuông. Ở công đoạn tráng men (chi phí nguyên liệu, thi công, kĩ thuật) với mỗi $m^{2}$: phần tô đen có chi phí 20 nghìn đồng, phần chấm bi (là 1 trong 2 elip như hình vẽ) có chi phí 15 nghìn đồng và phần còn lại có chi phí 10 nghìn đồng. Hãy tính chi phí a triệu đồng của công đoạn tráng men khi doanh nghiệp sản xuất 100000 viên gạch như thế. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy ở vị trí phù hợp. Xác định phương trình các đường elip, từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.
Chọn hệ trục Oxy sao cho O trùng với tâm viên gạch, trục hoành trùng với trục lớn của elip chấm bi.
Phương trình đường elip chấm bi là: $\left. \dfrac{x^{2}}{4^{2}} + \dfrac{y^{2}}{2^{2}} = 1\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\Leftrightarrow y^{2} = 4 - \dfrac{x^{2}}{4} \right.$.
Phương trình đường elip chấm bi nằm phía trên trục hoành là $y = \sqrt{4 - \dfrac{x^{2}}{4}}$.
Phương trình elip trắng là: $\left. \dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1\Leftrightarrow y^{2} = 16 - 4x^{2} \right.$.
Phương trình đường elip trắng nằm phía trên trục hoành là $y = \sqrt{16 - 4x^{2}}$.
Xét hệ: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1} \\ {\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} = \dfrac{16}{5}} \\ {y^{2} = \dfrac{16}{5}} \end{array} \right. \right.$.
Do đó, các giao điểm của hai elip có hoành độ là $\pm \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
Diện tích elip là:
$S_{E} = 2{\int\limits_{- 4}^{4}{\sqrt{4 - \dfrac{x^{2}}{4}}dx}} = 8\pi$ $(dm^{2})$.
Diện tích phần elip tô trắng là:
$S_{T} = 4{\int\limits_{0}^{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}{\left( {\sqrt{16 - 4x^{2}} - \sqrt{4 - \dfrac{x^{2}}{4}}} \right)dx}} \approx 10,3$ $(dm^{2})$.
Diện tích phần màu đen là:
$S_{D} = \pi.4^{2} - S_{E} - S_{T} \approx 14,84$ $(dm^{2})$.
Diện tích phần còn lại của viên gạch là:
$S_{C} = 8^{2} - S_{E} - S_{D} \approx 24,03$ $(dm^{2})$.
Chi phí tráng men là:
$100000P = 100000\left( {150S_{E} + 200S_{D} + 100S_{C}} \right) \approx 9140000000$ đồng, hay 914 triệu đồng.
Danh sách bình luận