Thầy Nguyễn Công Toàn là một giáo viên dạy hóa rất giỏi ở trường THPT Phụ Dực. Thầy đặc biệt giỏi công nghệ và say mê chuyên môn. Thầy có ngân hàng đề gồm 20 câu rất hay và độc lạ. Trong một buổi giao bài tập về nhà cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 bạn, thầy để AI lựa chọn ngẫu nhiên một số câu hỏi từ ngân hàng đề trên cho từng bạn. Gọi A là biến cố xảy ra đồng thời các điều kiện sau:
- Số câu hỏi chung của cả 5 bạn là 2.
- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 4 bạn bất kì trong đội là 3.
- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 3 bạn bất kì trong đội là 4.
Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p. Tính $10^{10}p$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phân loại mỗi câu hỏi dựa trên số lượng học sinh nhận được câu hỏi đó.
Mỗi câu hỏi trong ngân hàng 20 câu có thể được giao cho bất kỳ ai trong số 5 học sinh. Với mỗi câu hỏi, một học sinh có hai trạng thái: hoặc là được giao câu đó, hoặc là không.
- Vì có 5 học sinh, số cách phân phối một câu hỏi là $2^{5} = 32$ cách (bao gồm cả trường hợp không bạn nào nhận được hoặc cả 5 bạn cùng nhận được).
- Với 20 câu hỏi độc lập, tổng số cách phân phối là:
$n(\Omega) = 32^{20} = {(2^{5})}^{20} = 2^{100}$.
Điều kiện 1: Có đúng 2 câu chung cho cả 5 bạn.
Số cách chọn 2 câu này từ 20 câu là: $C_{20}^{2}$.
Điều kiện 2: Có đúng 3 câu chung cho nhóm 4 bạn bất kỳ.
Lưu ý: "3 câu chung cho nhóm 4 bạn" đã bao gồm 2 câu chung của cả 5 bạn ở trên.
Vậy, với mỗi nhóm 4 bạn, có thêm 3 - 2 = 1 câu hỏi mà chỉ đúng 4 bạn đó có (bạn thứ 5 không có).
- Có $C_{5}^{4} = 5$ nhóm 4 bạn. Vậy số câu hỏi thuộc loại "chỉ 4 người có" là: 5.1 = 5 câu.
- Số cách chọn 5 câu này từ 18 câu còn lại là: $C_{18}^{5}$.
- Số cách xếp 5 câu này vào 5 nhóm (mỗi nhóm 1 câu) là: 5! (hoặc hiểu là chọn từng câu cho từng nhóm).
Điều kiện 3: Có đúng 4 câu chung cho nhóm 3 bạn bất kỳ.
Các câu chung của nhóm 3 bạn bao gồm: câu chung của cả 5 bạn và các câu chung của nhóm 4 bạn có chứa 3 bạn đó. Với một nhóm 3 bạn bất kỳ (ví dụ bạn {1, 2, 3}):
- Số câu chung cả 5 bạn: 2 câu.
- Số câu chung của nhóm 4 bạn chứa {1, 2, 3}: Có 2 nhóm như vậy là {1, 2, 3, 4} và {1, 2, 3, 5}. Mỗi nhóm này có 1 câu riêng. Tổng là 2 câu.
Vậy hiện tại nhóm 3 bạn đã có 2 + 2 = 4 câu chung.
Theo đề bài, số câu chung của nhóm 3 bạn phải là 4. Điều này đồng nghĩa với việc không có thêm câu hỏi nào mà chỉ đúng 3 bạn có.
Số câu hỏi thuộc loại "chỉ 3 người có" là 0 câu.
Các câu hỏi còn lại:
Mỗi câu trong 13 câu còn lại này chỉ có thể rơi vào các trường hợp: có 0 người nhận, 1 người nhận, hoặc 2 người nhận.
Số cách phân bổ cho mỗi câu là: $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 1 + 5 + 10 = 16$ cách.
Vậy 13 câu còn lại có: $16^{13}$ cách chọn.
Ta có $p = \dfrac{C_{20}^{2}.C_{18}^{5}.5!.16^{13}}{32^{20}}$. Vậy $10^{10}p \approx 6940$.
Danh sách bình luận