Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).
a) Phương trình đường thẳng MN là $\left\{ \begin{matrix} {x = 3 + t} \\ {y = - 2 + 5t} \\ {z = - 1 + 2t} \end{matrix} \right.$.
b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).
c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .
d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.
a) Phương trình đường thẳng MN là $\left\{ \begin{matrix} {x = 3 + t} \\ {y = - 2 + 5t} \\ {z = - 1 + 2t} \end{matrix} \right.$.
b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).
c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .
d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.
a) Đúng. Đường thẳng MN đi qua M(3; -2; -1), nhận \(\overrightarrow {MN} = (1;5;2)\) làm VTCP có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
b) Đúng. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\ - 5 = - 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\x = 1\\y = - 12\end{array} \right.\). Vậy E(1; -12; -5).
c) Sai. \(\overrightarrow {ME} = ( - 2; - 10; - 4) = - 2\overrightarrow {MN} \) nên M nằm giữa N và E.
Hai tam giác EMA và EAN đồng dạng (g.g) nên \(E{A^2} = EM.EN\).
Vì N, M, E là các điểm cố định nên \(E{A^2} = EM.EN\) không đổi.
Vì E cố định và độ dài EA không đổi nên A thuộc đường tròn tâm E, bán kính EA.
\(EM = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2} + {{( - 4)}^2}} = 2\sqrt {30} \), \(EN = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(3 + 12)}^2} + {{(1 + 5)}^2}} = 3\sqrt {30} \).
\(E{A^2} = EM.EN = 2\sqrt {30} .3\sqrt {30} = 180 \Rightarrow EA = 6\sqrt 5 \approx 13,42\).
d) Đúng. Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó H(0; 0; -5).
Xét tam giác OAH vuông tại H: \(O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = {5^2} + H{A^2}\).
Để OA lớn nhất thì HA lớn nhất. Khi đó, xét trên (P):
\(H{A_{\max }} = HE + EA =\)
\(\sqrt {{{(1 - 0)}^2} + {{( - 12 - 0)}^2} + {{( - 5 + 5)}^2}} + 6\sqrt 5 \)
\(= \sqrt {145} + 6\sqrt 5 \).
Vậy \(OA = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\sqrt {145} + 6\sqrt 5 } \right)}^2}} \approx 25,9\).
Danh sách bình luận