Đề bài

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = $a\sqrt{2}$ và góc giữa A'B và mặt phẳng (ABC) là $60^o$. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:

• A. 2a.
• B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
• C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
• D. \(a\sqrt 5 \).

Phương pháp giải

Tìm điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi M là trung điểm của BC, I là tâm hình chữ nhật BB’C’C.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM = BM = MC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh  huyền). Do đó, M cách đều A, B, C (1)

Vì IM là đường trung bình trong tam giác BB’C nên IM // BB’ và \(IM \bot (ABC)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I cách đều A, B, C.

Chứng minh tương tự, có I cách đều A’, B’, C’ và IB = IB’.

Vậy I cách đều các đỉnh của hình lăng trụ, do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a\).

Có AB là hình chiếu của A’B lên (ABC) nên:

\(\left( {A'B,(ABC)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA} = {60^o}\).

Xét tam giác A’AB vuông tại A: \(\tan \widehat {A'BA} = \frac{{AA'}}{{AB}}\)

\(\Rightarrow AA' = AB\tan \widehat {A'BA} = a\tan {60^o} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác BB’C vuông tại B:

\(B'C = \sqrt {B'{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là \(IC = \frac{{B'C}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án : B

Mở rộng

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.