Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1000 + 100t} \\ {y = - 300 + 80t} \\ {z = 100\sqrt{11}} \end{array} \right.\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.
b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\left( {- 500\,;\, 100\,;\, 100\sqrt{11}} \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\dfrac{4}{3}$ giờ.
d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.
b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\left( {- 500\,;\, 100\,;\, 100\sqrt{11}} \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\dfrac{4}{3}$ giờ.
d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.
Áp dụng kiến thức về phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ.
a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính 600 km là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 0)^2} = {600^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 36000\).
b) Đúng. \(OM = \sqrt {{{( - 500)}^2} + {{100}^2} + {{(100\sqrt {11} )}^2}} \approx 608\) km > 600 km.
Do đó vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu.
c) Sai. Đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là lúc đường bay d nằm trong mặt cầu.
Giả sử đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm B, C. Xét:
\({( - 1000 + 100t)^2} + {( - 300 + 80t)^2} + {(100\sqrt {11} )^2} = 36000\)
\( \Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = \frac{{210}}{{41}}\end{array} \right.\)
Với t = 10, ta có \(B\left( {0;500;100\sqrt {11} } \right)\).
Với \(t = \frac{{210}}{{41}}\), ta có \(C\left( { - \frac{{20000}}{{41}};\frac{{4500}}{{41}};100\sqrt {11} } \right)\).
\(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20000}}{{41}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4500}}{{41}} - 500} \right)}^2}} \approx 625\) (km).
Thời gian máy bay bay hết quãng đường BC xấp xỉ \(\frac{{625}}{{900}} \approx 0,69\) giờ.
d) Sai. Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 600 km vì đài kiểm soát không lưu được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.
Danh sách bình luận