Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết BC = SB = a, \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
-
A.
\(90^o\).
-
B.
\(60^o\).
-
C.
\(45^o\).
-
D.
\(30^o\).
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Tìm ở mỗi mặt phẳng trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến đó.
Gọi M là trung điểm của SC, do tam giác SBC cân tại B nên ta có \(SC \bot BM\) (1)
\(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\\SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\).
\(\left. \begin{array}{l}SC \bot BM\\SC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot (BMD) \Rightarrow SC \bot DM\) (2)
Mà \((SBC) \cap SCD) = SC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BM,DM} \right) = \widehat {BMD}\).
Ta có \(\Delta SBO = \Delta CBO\) (ch – cgv) suy ra \(SO = CO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vì tam giác SOC vuông tại O, OM là đường trung tuyến nên \(OM = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Mặt khác \(OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó tam giác BMO vuông cân tại M hay góc \(BMO = {45^o}\) hay \(BMD = {90^o}\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng \({90^o}\).
Đáp án : A
Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho \(c = (\alpha ) \cap (\beta )\):
\(((\alpha ),(\beta )) = (a,b)\) với \(a \subset (\alpha )\), \(b \subset (\beta )\), \(a \bot c\), \(b \bot c\).
Danh sách bình luận